Een dimensie tussen 1 en 2, kan dat?
Wat is een dimensie?
Een lijn heeft een dimensie 1, een vlak een dimensie 2 en
in onze ruimte heeft 3 dimensies.
Wat bedoelen we daarmee?
Iedereen weet wel zo'n beetje wat me daar mee bedoelen:
bij een lijn kun je spreken over "lengte",
bij een vlak over "lengte" en "breedte" en in onze ruimte hebben
de dingen een "lengte", "breedte" en "hoogte".
Coördinaten
Wiskundigen praten nauwkeuriger over het begrip dimensie.
Voor plaatsbepalingen in een ruimte voeren ze graag
een coördinatenstelsel in.
Op een lijn kun je volstaan met één coördinaat,
namelijk de afstand tot een gekozen oorsprong.
In het vlak heb je twee coördinaten nodig,
meestal x- en y-coördinaat genoemd. En in onze ruimte,
een driedimensionale ruimte, heb je drie coördinaten nodig,
namelijk een x- en y- en z-coördinaat.
Een andere definitie voor het begrip "dimensie"
Veronderstel eens dat je de lengte van een lijnstuk moet opmeten.
Hoe doe je dat? Je pakt bijvoorbeeld een stukje hout
van precies 1 dm en meet hoe vaak je dat stukje hout langs het
lijnstuk kan leggen. Lukt je dat 13 keer,
dan zeg je dat het lijnstuk 13 dm lang is. Simpel toch!
Wat gebeurt er als je hetzelfde doet met een houtje dat
10 keer zo klein is? Als het nieuwe houtje 10 keer zo klein is,
dan zal het 10 keer zo vaak als het grotere houtje
langs het lijnstuk passen. Je krijgt dan 13*10 = 130 cm.
Ik schrijf nu liever 13*101 = 130 cm.
Een conclusie: als je de lengte van een stuk lijn opmeet
met een 10 keer zo nauwkeurige maat, dan wordt de uitkomst
met 101 vermenigvuldigd. Precies hetzelfde
gebeurt als je drie keer zo nauwkeurig meet, dan wordt
dan wordt de uitkomst met 31 vermenigvuldigd, enz....
Omdat er 101 en 31 staat,
zeg ik: de dimensie van het lijnstuk is 1.
Wat zegt die definitie over het vlak?
Veronderstel nu eens dat je de oppervlakte van een rechthoek moet opmeten.
Hoe doe je dat? Je zaagt een vierkant stuk hout van precies 1 dm bij 1 dm.
En je meet hoe vaak dat stuk hout in de rechthoek past.
Lukt je dat 65 keer,
dan zeg je dat de oppervlakte 65 dm2 is.
Wat gebeurt er als je in plaats van een stuk hout van 1 dm bij 1 dm
een stukje hout had genomen van 1 cm bij 1 cm?
Hoeveel keer past het dan in die rechthoek?
Je raadt het antwoord al: 65*100 = 6500 keer.
De oppervlakte is dus 6500 cm2,
liever 65*102 cm2,
Hier luidt de conclusie: als je de oppervlakte van een rechthoek opmeet
met een 10 keer zo nauwkeurige maat, dan wordt de uitkomst
102 keer zo groot. Precies hetzelfde
gebeurt als je drie keer zo nauwkeurig meet,
dan wordt de uitkomst met 32 vermenigvuldigd, enz....
Omdat er 102 en 32 staat,
zeg ik: de dimensie van het vlak is 2.
Kritiek
Wat als de lijn kronkelig is, en de rechthoek geen rechthoek,
maar een stukje van het vlak? Klopt dan je verhaal?
Terecht die vragen, maar het antwoord is:
als de figuren niet "te kronkelig" zijn, dan klopt het verhaal echt.
Hoezo, niet te kronkelig? Is dat nou wiskundetaal?
Als die lijn nou wel vreselijk kronkelig is, wat dan?
Nu wordt het tijd om nog eens te kijken naar de kromme van von Koch
.
Hieronder staat hij!
De kromme ontstaat door steeds elk lijnstuk in drie gelijke stukken
te verdelen.
Het middelste stuk wordt weggelaten en er worden
twee evengrote lijnstukken toegevoegd.
Daardoor word elke keer de lengte van elk lijnstuk 3 keer zo klein,
maar de totale lengte van de "kromme" 4/3 keer zo groot.
Misschien wat lastig te begrijpen, maar
(kijk eventueel naar de eerste plaatjes
van de kromme van von Koch
)
als je 3 keer zo nauwkeurig meet, wordt
je antwoord 4 keer zo groot.
Welke dimensie heeft die kromme dan?
Als je 3 keer zo nauwkeurig meet, en je antwoord wordt
31 keer zo groot, dan heb je dimensie 1.
Als je antwoord 32 zo groot wordt,
dan zeg je de dimensie is 2. Maar wat nu als je antwoord 4 keer
zo groot wordt?
Nu geldt dat 4 ~ 31,261859507,
dus de conclusie ligt voor de hand:
de dimensie van de kromme van von Koch is ~ 1,261859507.
De kromme is zo kronkelig dat het eigenlijk geen lijn meer is,
maar iets dat tussen lijn en vlak in zit.
Terug naar de wiskunde-index