De Kromme van Helge von Koch (1904)



Een lijnstuk wordt in drie gelijke stukken verdeeld.
Het middelste stuk wordt weggelaten en er worden twee even grote lijnstukken toegevoegd.
Zo ontstaat de tekening hieronder.


In het midden is een gelijkzijdige driehoek ontstaan, waarvan de basis ontbreekt.
Wat gaat er nu gebeuren als je opnieuw elk lijnstuk in drieën verdeelt en het middelste lijnstuk door twee even grote lijnstukken vervangt, net als bij de eerste tekening?
Dan krijg je de tekening, hieronder.


Na nog een keer hetzelfde principe toepassen, krijg je:



Ik heb dat 100 keer gedaan en dan krijg je het volgende plaatje:



Veronderstel dat de lengte van het eerste lijnstuk 1 dm (=10 cm)is. Dan wordt de lengte van elk van de lijnstukken in de tweede tekening 1/3 dm.
De totale lengte van die 4 lijnstukken 4*1/3= 4/3 dm. In de derde tekening zijn er al 16 lijnstukken getekend. Elke keer wordt zo'n lijnstukje 3 keer zo klein, maar je krijgt wel 4 keer zoveel lijnstukken. De totale lengte wordt dus elke keer 4/3 keer zo groot.
De totale lengte van de 16 lijnstukken is dus (4/3)² ~ 1,78 dm.

Na 100 keer heb ik dus 4¹⁰⁰ ~ 1,6*10⁶⁰ lijnstukjes.
De lengte van de 'kromme' is (4/3)¹⁰⁰ ~ 3,1*10¹² dm, dat is ongeveer 311.798.241 km.
Als je kromme aan één kant op aarde vastbindt en je neemt het andere einde mee om de kromme glad te trekken, dan lukt je dat pas als je ver voorbij de maan bent.
Is dit de langste 'kromme' op INTERNET?

Als je met dit proces tot in het 'oneindige' doorgaat, dan ontstaat er een kromme die oneindig lang is.
Die kromme noemen we de "kromme van von Koch"; je kunt die niet tekenen, hij bestaat alleen in onze gedachten!

Terug naar de wiskunde-index